Αραιά και πι

Έστω κι ετεροχρονισμένα, ας γιορτάσουμε κι εμείς την παγκόσμια ημέρα του ωραίου «π». Τώρα, να πιάσουμε να μιλάμε για τη σημασία του, όταν τα πάντα έχουν ειπωθεί και δις και τρις και τρις χιλιάκις, όχι μονάχα είναι μάταιο, είναι και κάπως αλαζονικό - να θες, δηλαδή, στα στενά πλαίσια μιας ιστολογικής ανάρτησης να φιλοδοξείς κάτι να πεις της προκοπής. Εκτός κι αν είναι ποίηση. Εκτός κι είναι ανακάλυψη να σείεται η γης, ν' ανοίγει ο κάτω κόσμος. Η ανάρτηση αυτή δεν είναι τίποτε περισσότερο από μικρό σημείωμα. Μα κι επιπλέον τούτο: εδώ κυρίως ασχολούμαστε με αγαπημένη Αστρονομία κι όχι δαιμονισμένα Μαθηματικά, τα οποία χώνονται καλικαντζάρικα παντού. Είναι, λοιπόν, στο ιστολόγιο του Νίκου Σαραντάκου που διάβασα τούτο που θέλω να σας μεταφέρω, στο σχόλιο 170 κάποιου Μιχάλη Νικολάου, και πολύ μου άρεσε. Σ' ευχαριστούμε Μιχάλη! Είπα να το μεταφέρω εδώ, να 'χω να το θυμάμαι.

Να ρωτήσουμε πόσα ψηφία έχει το «π» είναι σα να ρωτάμε αν η γενειάδα του Θεού σταματά στον αφαλό του ή συνεχίζει κι άλλο. Δεν έχει νόημα, όχι μόνο γιατί ο Θεός δεν έχει αφαλό (όπως φυσικά κι ο Αδάμ) αλλά γιατί το πιθανότερο η γενειάδα του Θεού να είναι φράκταλ. Κι ούτε έχει νόημα ν' αναρωτηθεί κανείς πόσα ψηφία του «π» έχουμε καταφέρει να υπολογίσουμε ίσαμε σήμερα ή χθες, εκτός κι αν είναι προγραμματιστής και θέλει να φτάσει τις δυνατότητες των αλγορίθμων του στα όριά τους. Έτσι διαβάζουμε, ανά τακτά χρονικά διαστήματα, πως ο τάδε ή ο δείνα κατάφερε να σπάσει το προηγούμενο ρεκόρ και να συσσωρεύσει άλλα τόσα εξωφρενικά φανταστικομμύρια ψηφία στην αχανή εγκυκλοπαίδεια του «π». Αν αφήσουμε, ωστόσο, τις υψιπετείς φιλοδοξίες του ανθρώπινου νου που αναμετράται με την τρέλα ή τη θέωση, στην πράξη πόσα ψηφία του «π» μας είναι τελικά απαραίτητα; Γιατί ακόμα και το χαριτωμένο τετράστιχο του Νικολάου Χατζιδάκι, είναι και τούτο υπερβολικό με τα 22 ψηφία του. Στο διαδίκτυο, το ερώτημα έχει απασχολήσει πολλάκις και πλειστάκις, δεν είμαστε δα κι οι πρώτοι. Τελικά, πόσοι είναι εκείνοι που θα χρειάζονταν περισσότερα ψηφία του πι απ' όσα έχει ανάγκη μια διαστημική υπηρεσία, εκεί δηλαδή όπου ένα στραβο-ξυσμένο μολύβι, ένα μυγόχεσμα σε θέση υποδιαστολής, έχουν τη δύναμη να εκτροχιάζουν πανίσχυρους πυραύλους και τα σχέδια πολλών ετών στο επέκεινα κι ακόμα παραπέρα;

Κάθισε λοιπόν, ο πολυμήχανος Μιχάλης που αναφέραμε, και βρήκε τον κώδικα που χρησιμοποίησε η NASA στις πρώτες της αποστολές, ανακαλύπτοντας και αποκαλύπτοντας πως τελικά 10 σημαντικά ψηφία μας ήταν αρκετά, ώστε να στείλουμε ανθρώπους στο φεγγάρι! Καλοί μου άνθρωποι, καταλαβαίνετε; Τα εννέα αυτά δεκαδικά ψηφία αντιπροσώπευαν το 1969 την αιχμή της ανθρώπινης τεχνολογίας! Θα μπορούσε, δηλαδή, κάποιος σχολαστικός να συσχετίσει την τεχνολογική πρόοδο ενός πολιτισμού, συναρτήσει του πλήθους των δεκαδικών του πι που έχει ανάγκη. Για να έχουμε, ωστόσο, μια πρακτική αντίληψη τι ακριβώς σημαίνει ακρίβεια 9 δεκαδικών, ας καταφύγουμε κι εμείς σ' ενα παράδειγμα που στο διαδίκτυο έχει καταλήξει τετριμμένο: ας αναρωτηθούμε κι εμείς με τη σειρά μας πόσο έξω θα πέφταμε απ' την «πραγματική» τιμή αν αποφασίζαμε να μετρήσουμε το μήκος της φεγγαρο-τροχιάς, χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του πι που προτιμούσε η NASA το '69.

Ας δεχτούμε, καταρχάς, ως μέση ακτίνα τροχιάς εκείνη που μας δίνει η Wikipedia, χοντρικά 385.000 χιλιόμετρα. Να υπολογίσουμε, ακόμη-ακόμη, και το σφάλμα απόκλισης απ' την πραγματική τιμή του πι, καθώς περιοριζόμαστε στα εννέα μόνο ψηφία. Τώρα σηκώνει μεγάλη κουβέντα, να μιλά κανείς για την «πραγματική τιμή του πι», μπορούμε ωστόσο να συμφωνήσουμε σε τούτο: εννοούμε μια προσέγγιση αρκούντως μεγάλη για την ανθρώπινη αντίληψη, τόσο μεγάλη ώστε να ξεπερνάει και τις μεγαλύτερες προσδοκίες μας. Μεγαλύτερη προσδοκία απ' το να μετρήσει κανείς την περίμετρο του Σύμπαντος, αν υποθέταμε πως είναι κυκλικό, φαντάζομαι πως δεν θα 'βρισκε χώρο να σταθεί στο Σύμπαν κι έτσι, για να το συντομεύουμε, ας δεχτούμε πως λέει την αλήθεια ετούτος εδώ ο τύπος στο YouTube, ο οποίος ισχυρίζεται πως μας αρκούν 39 ψηφία [ 3,14159265358979323846264338327950288419 ], προκειμένου να υπολογίσουμε την περιφέρεια του Κόσμου με ακρίβεια... ενός ατόμου υδρογόνου!

Ποια είναι τα πρακτικά μας εργαλεία; Προσωπικά έχω δύο βολικές διεξόδους, το Microsoft Excel και το Wolfram Mathematica. Το πρώτο χρησιμοποιεί συγκεκριμένη προσέγγιση του πι 15 δεκαδικών ψηφίων, το δεύτερο θεωρητικά οσοδήποτε μεγάλη προσέγγιση επιθυμεί ο χρήστης ή σηκώνει ο επεξεργαστής του. Το πρόβλημα είναι πως η τεκμηρίωση της Wolfram δε μας διευκρινίζει ποιους προκαθορισμούς ακολουθεί το πρόγραμμα κι έτσι σαν γράφει κανείς απλά «Pi», δηλαδή τη νόμιμη συμβολική αναπαράσταση χωρίς να διευκρινίζει τάξη προσέγγισης, δεν γνωρίζουμε με ποια τιμή εργάζεται το Mathematica εξ ορισμού. Τέλος πάντων και για να μην πλατειάσουμε άλλο, στο εννεαψήφιο βάθος δεκαδικών που συζητούμε και τα δύο προγράμματα δίνουν το ίδιο σφάλμα : 0,0000000187737% . Με άλλα λόγια, αν πιάσουμε το βελόνι των 385.000 χιλιομέτρων και το φασόν του 2πR να πλέξουμε κασκολάκι με τις φάσεις της Σελήνης και τυλίξουμε με τούτο τα 2.415.677,4050419 χιλιόμετρα της σεληνιακής τροχιάς, τότες σφάλμα 0,0000000187737% σημαίνει για μας σχεδόν 45 μέτρα, δηλαδή ούτε ένα λεπτό περπάτημα!! Να το πούμε κι έτσι: για κάθε λανθασμένο χιλιόμετρο ενός μεθυσμένου αστροναύτη το σφάλμα είναι μόλις 0,019 χιλιοστά, δηλαδή μικρότερο από έναν κόκκο σκόνης!!

Σήμερα, ωστόσο, ο πήχης έχει ανέβει μία σταλιά ψηλότερα κι όπως διαβάζουμε εδώ η NASA σε δυο ξεχωριστά πρωτόκολλα πλοήγησης χρησιμοποιεί 15 και 16 ψηφία του πι αντίστοιχα. Μάλλον θα τους βολεύει, άμα δουλεύουν σε Microsoft Excel (χιούμορ). Τον πλήρη κώδικα στον οποίο αναφέρεται ο καλός σχολιαστής Μιχάλης θα τον βρείτε εδώ (το σύνδεσμο έχει συμπεριλάβει κι ο ίδιος στο σχόλιο), αλλά καθώς πρόκειται για φωτογραφικό αρχείο pdf κι η αναζήτηση είναι ο 13ος άθλος του Ηρακλή, προσωπικά θα προτιμήσω έναν άλλο σύνδεσμο, σε χαριτωμένη και παστρικιά html. Α και μην το ξεχάσω! Εαρινή ισημερία χθες!! Διαβήκαμε, επιτέλους, το Ρουβίκωνα κι η αναμέτρηση με το ζεστό και άφραγκο καλοκαιράκι δεν απέχει πια παρά μιας επιδημίας δρόμο!!

Καλή συνέχεια συνοδοιπόροι και πάνω απ' όλα υγεία! Πιο πάνω κι από τ' άστρα!